Είσοδος

Μη Γραμμικές Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις

Γενικά στοιχεία

 

 
Περιγραφή

Στο μάθημα ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΜΕΡΙΚΕΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ παρουσιάζονται στοιχεία ποιοιτικής θεωρίας μη γραμμικών ΜΔΕ, μελέτη ύπαρξης και ευστάθειας κυματικών λύσεων για συγκεκριμένες κατηγορίες μη γραμμικών μοντέλων. Στοιχεία εφαρμοσμένης ανάλυσης, λογισμού μεταβολών και τροχιακής ευστάθειας θα εφαρμοστούν για φασματική και δυναμική μελέτη κυματικών λύσων. 

Ύλη

Η ύλη του μαθήματος  Μερικές Διαφορικες Εξισώσεις (ΜΔΕ)  περιλαμβάνει:
1. Εισαγωγή στις μη γραμμικές ΜΔΕ
2. Γραμμικές και σχεδόν γραμμικές ΜΔΕ εξέλιξης 
3. Θεωρία Διαταραχών πολλαπλών κλιμάκων για ΜΔΕ
4. Μη Γραμμικά Κύματα-Βασικές Εξισώσεις
5. Χαμιλτονιανος Φορμαλισμός για ΜΔΕ
6. Ευστάθεια Λύσεων Μη Γραμμικών ΜΔΕ με έμφαση στις nonlinear Schrodinger/sine-Gordon/παραβολικού τύπου ΜΔΕ
6.1 Ασυμπτωτική ευστάθεια
6.2 Τροχιακή Ευστάθεια
6.3 Συνάρτηση Evans 
6.4 Διατηρησιμότητα ομοκλινικων λύσων για ΜΔΕ 

Βιβλιογραφία

  • Ablowitz Segur-Solitons and the inverse scattering transform SIAM 1981.
  • P. G. Drazin, R. S. Johnson  - Solitons -  An Introduction (Cambridge Texts in Applied Mathematics,1989) (ΒΑΣΙΚΟ)
  • Ablowitz M., Discrete and Continuous Nonlinear Schrodinger Systems CUP 2004.
  • YANG,J.Nonlinear Waves in Integrable and Non integrable Systems Monographs on Mathematical Modeling and Computation, SIAM 2010.
  • Kapitula T., Promislow K., Spectral and Dynamical Stability of Nonlinear Waves Springer 2013. (ΒΑΣΙΚΟ)
  • Sulem, C and Sulem, P-L The Nonlinear Schrodinger Equation Springer 2013. (ΒΑΣΙΚΟ)
  • Σημειώσεις Β ΡΟΘΟΣ 
  • T. Tao, Nonlinear Dispersive Equations (2006)
    -- a thorough introduction to the modern mathematical theory of nonlinear waves. This is the text most closely aligned with this course, especially Chs. 1-3, though in places it hits levels of depth and sophistication that we will not.
  • G. Whitham, Linear and Nonlinear Waves (1974)
    -- a classical 'applied' text. Part II covers many of the basic notions for linear and nonlinear dipsersive PDE.
  • W. Strauss, Nonlinear Wave Equations (1989)
    -- a short, efficient overview of the mathematical state-of-the-art at the time.
  • G. Fibich, The Nonlinear Schroedinger Equation (2015)
    -- these books cover many aspects of NLS, both analysis and applications
  • T. Cazenave, Semilinear Schroedinger Equations (2003)
    -- full gory details of analysis of NLS
  • Analysis background: there are many standard texts, including
    • G. Folland, Real Analysis: Modern Techniques and their Applications
  • PDE background: again there are many standard texts, including
    • W. Strauss, Partial Differential Equations (undergraduate level)
    • L. Evans, Partial Differential Equations (graudate level)
  •  

Mέθοδοι αξιολόγησης

Η αξιολόγηση του μαθήματος θα γίνει με γραπτές εργασίες και παρουσίαση στο τέλος του εξαμήνου ενός πρότζεκτ (θεωρητικό ή εφαρμογών)

Διδάσκοντες

Βασίλειος Μ ΡΟΘΟΣ

Καθηγητής Δυναμικών Συστημάτων

Σχολη Μηχανολόγων Μηχανικών και Εργαστήριο Μη Γραμμικών Μαθηματικών

Πολυτεχνική Σχολή-Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονικής 

rothos@auth.gr


 
Συγχρηματοδότηση
από την Ε.Ε.