Είσοδος

Λογισμός Πολλών Μεταβλητών

Γενικά στοιχεία

 

 
Περιγραφή

Το μάθημα αναφέρεται στο Διαφορικό και Ολοκληρωτικό Λογισμό των συναρτήσεων πολλών μεταβλητών.

Ύλη

Εισαγωγή: Ο Ευκλείδειος χώρος Rn. Η έννοια της νόρμας και της απόστασης. Η τοπολογία του Rn Ακολουθίες του Rn .

Όρια και συνέχεια συναρτήσεων: Συναρτήσεις μεταξύ Ευκλείδειων χώρων, η γραφική τους αναπαράσταση, ισοσταθμικές καμπύλες και επιφάνειες. Όριο και συνέχεια συ­ναρτήσεων. Όριο κατά μήκος καμπύλης. Συνεκτικά και δρομοσυνεκτικά σύνολα.

 Παράγωγοι Διανυσματικών Συναρ­τήσεων μιας Μεταβλητής: Παράγωγοι διανυσματικών συναρτήσεων μιας μεταβλητής. Εφαρμογές στη Διαφορική Γεωμετρία και τη Μηχανική. Οι κα­μπυλόγραμμες συντεταγμένες και τα αντίστοιχα μοναδιαία διανύσματα τους.

Διαφορίσιμες συναρτήσεις: Μερική παράγωγος. Μερικές παράγωγοι ανωτέρας τάξης. Θεώρημα Schwarz, Παράγωγος ως προς κατεύθυνση. Διαφορικό 1ης τάξης και βέλτιστη γραμμική προσέγγιση, εφαπτόμενο επίπεδο επιφάνειας. Παράγωγος σύνθεσης και εφαρμογές. Κλίση (gradient) πραγματικής συνάρ­τησης. Απόκλιση και στροβιλισμός, Λαπλασιανή, Γραμμές ροής διανυσματικού πεδίου. Υλική παρά­γωγος (material de­rivative).

Βασικά θεωρήματα: Θεώρημα μέσης τιμής. Διαφορικά ανώτερης τάξης Τύπος Taylor. Θεώρημα αντί­στροφης συνάρτησης. Πεπλεγμένες συναρτήσεις. Συναρτησιακή εξάρτηση. 

 Ακρότατα: Ακρότατα συναρτήσεων. Δεσμευμένα ακρότατα και η μέθοδος πολλαπλασιαστών του Lagrange.

Διπλά ολοκληρώματα: Ορισμός, υπολογισμός σε Καρτεσιανές συντεταγμένες. Πολικές συντεταγμένες, αλλαγή μεταβλητών. Εφαρμογές.

Τριπλά ολοκληρώματα: Ορισμός, υπολογισμός σε Καρτεσιανές συντεταγμένες. Κυλινδρικές και σφαιρικές συντεταγμένες. Εφαρμογές.

Επικαμπύλια ολοκληρώματα: Επικαμπύλιο ολοκλήρωμα α΄είδους, υπολογισμός και εφαρμογές. Επικαμπύλιο ολοκλήρωμα β΄είδους, υπολογισμός και εφαρμογές. Ανεξαρτησία από το δρόμο, θεώρημα Green, πολλαπλώς συνεκτικά πεδία.

Επιφανειακά ολοκληρώματα: Επιφανειακό ολοκλήρωμα α΄είδους, υπολογισμός και εφαρμογές. Επιφανειακό ολοκλήρωμα β΄είδους, υπολογισμός και εφαρμογές.

Βασικά θεωρήματα της Διανυσματικής Ανάλυσης: Θεώρημα του Stokes, θεώρημα του Gauss, Ολοκληρωτικοί τύποι του Green.

Βιβλιογραφία

1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- Συναρτήσεις πολλών μεταβλητών, Ν. ΚΑΔΙΑΝΑΚΗ, Σ. ΚΑΡΑΝΑΣΙΟΥ, Α. ΦΕΛΛΟΥΡΗ.

2. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ, Θ. ΡΑΣΣΙΑ

3. ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ, Γ. ΠΑΝΤΕΛΙΔΗ

4. ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΙΙ, Φ. ΞΕΝΟΥ

5. ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ, Ν. ΜΥΛΩΝΑΣ

 6. CALCULUS, G. THOMAS, Εκδόσεις earson Int. Edition

Εργασίες

θα δίνονται φυλλάδια εργασιών τα οποία ζητείται να λυθούν προαιρετκά από τους φοιτητές και να παραδοθούν στους διδάσκοντες.

Οι εργασίες μετρούν θετικά για τη βελτίωση του βαθμού της γραπτής εξέτασης (μέχρι μια μονάδα)

Διδάσκοντες

Γ. Σμυρλής,      gsmyrlis@math.ntua.gr

 

Ν. Λαμπρόπουλος,  nal@math.ntua.gr  


 
Συγχρηματοδότηση
από την Ε.Ε.