Το μάθημα εντάσσεται στα πλαίσια του Διατμηματικού Μεταπτυχιακού Προγράμματος Σπουδών "Εφαρμοσμένη Μηχανική" με συντονίζουσα Σχολή την Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών. Ο σκοπός του μαθήματος είναι η μελέτη υπολογιστικών μεθόδων για την ανάλυση της δυναμικής μη-γραμμικών συστημάτων με βάση την θεωρία Διακλαδώσεων (Computational Bifurcation Theοry). Συγκεκριμένα επιδιώκεται να δωθεί στους φοιτητές το απαραίτητο υπόβαθρο για την υπολογιστική εύρεση λύσεων και την ανίχνευση κλάδων ισορροπίας και ταλάντωσης, την ανάλυση της ευστάθειας τους, καθώς και τον εντοπισμό των κρίσιμων σημείων τα οποία ουσιαστικά οριοθετούν τις ποιοτικές και ποσοτικές αλλαγές στη δυναμική συμπεριφορά των υπό εξέταση συστημάτων (π.χ. αλλαγές φάσεων). Για την κατανόηση των μεθόδων η παρουσίαση και η εφαρμογή τους γίνεται για την ανάλυση ενός εύρους προβλημάτων από την Επιστήμη του Μηχανικού, την Υπολογιστική Βιολογία και τα Οικονομικά.

• Διακλάδωση λύσεων και ευστάθεια σε μια διάσταση.
• Είδη διακλαδώσεων: σαγματικό (saddle), κόμβος (node), μονόπλευρη (pitchfork), αμφίπλευρη (transcritical).
• Διακλάδωση λύσεων σε 2 διαστάσεις: γραμμικοποίηση, ανάλυση στο χώρο φάσης, ευστάθεια, κανονικές μορφές (normal forms).
• Οριακοί κύκλοι: Διακλάδωση Hopf, υπερκρίσιμη (supercritical), υποκρίσιμη (subcritical), απεικονίσεις Poincare.
• Ολικές διακλαδώσεις (global bifurcation): Ομοκλινικές, Ετεροκλινικές. Δρόμοι προς το Χάος.
• Υπολογιστική ανάλυση διακλάδωσης: Μέθοδος Newton-Raphson, βηματισμός σε παράμετρο, υπολογισμός κρίσιμων σημείων, ευστάθεια κλάδων.
• Υπολογιστικές μέθοδοι μεγάλης κλίμακας: Ανάλυση στον υπόχωρο Krylov, επαναλήψεις σταθερού σημείου (fixed point iterations), μέθοδοι ελεύθερες πίνακα (matrix free), επιλύτες ιδιοτιμών Arnoldi και Lanzcos, GMRES.
•  Εισαγωγή στo λογισμικό πακέτο MatCont. Παραδείγματα προσομοίωσης και ανάλυσης για προβλήματα που περιγράφονται από συνήθεις και μερικές διαφορικές εξισώσεις αντίδρασης-διάχυσης.

• Κατά την διάρκεια του μαθήματος δίνονται στους φοιτητές σημειώσεις και άρθρα σχετικά με την ύλη και το αντικείμενο του μαθήματος.
• Προτεινόμενη Βιβλιογραφία:
• Iterative Methods for Linear and Noninear Equations, C. T. Kelley, SIAM, Philadelphia, 1995.
• Nonlinear Dynamics and Chaos: with Applications to Physics, Biology, Chemistry and Engineering, S. Strogatz, Perseus Books Group, 2001.

Ο βαθμός στο μάθημα προκύπτει από την τελική εξέταση κατά 40% και από τη διαδικασία παράδοσης ασκήσεων 60%

Σιέττος Κωνσταντίνος, Αναπλ. Καθηγητής

Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών & Φυσικών Επιστημών, Τομέας Μηχανικής

e-mail: ksiet@mail.ntua.gr

web-page: http://users.ntua.gr/ksiet

Tηλ.: 210 772 3950