Γενικά στοιχεία

Δυναμικά Συστήματα

Ύλη

1. Ποιοτική  Θεωρία:

1.1 Θεωρήματα Ύπαρξης και Μοναδικότητας Λύσεων: Θεώρημα Picard, Θεώρημα  Peano,

1.2 Μέγιστο διάστημα ύπαρξης και επέκταση της  Λύσης,

1.3 Ανισότητα  Gronwall.

1.4 Συνεχής εξάρτηση και διαφορισιμότητα των λύσεων ως προς αρχικές συνθήκες & παραμέτρους

2) Ευστάθεια:

2.1 Εισαγωγή  - Αυτόνομα Συστήματα,

2.2 Ευστάθεια Γραμμικών Συστημάτων: Γενική Θεωρία, Αυτόνομα Γραμμικά Συστήματα στο Επίπεδο,

2.3 Ευστάθεια Σχεδόν Γραμμικών Συστημάτων: Γραμμικοποίηση,

2.4 Μέθοδος Lyapunov,

2.5 Αλγεβρικά Κριτήρια Ευστάθειας.

3) Θεωρία Floquet

3.1 Εισαγωγή  -  Βασική  Θεωρία,

3.2 Εξίσωση  Mathieu.

4)      Θεωρία Διακλαδώσεων:

4.1 Στοιχειώδεις Διακλαδώσεις στη 1-Διάσταση (Saddle-Node, Transcritical, Hysteresis, Pitchfork, Fold & Cusp);
Τοπικές Διαταραχές κοντά σε Στάσιμα Σημεία (Υπερβολικά Στάσιμα Σημεία, Στάσιμα Σημεία με Τετραγωνικό
και Κυβικό Εκφυλισμό) ,

4.2  Στοιχειώδεις Διακλαδώσεις στις 2-Διαστάσεις (Saddle-Node, Pitchfork, Vertical, Poincare – Andronov - Hopf,
Homoclinic or Saddle-Loop),

4.3 Παρουσία Μηδενικής Ιδιοτιμής: Ευστάθεια; Διακλαδώσεις; Ευσταθείς & Ασταθείς Πολλαπλότητες;  Κεντρική
Πολλαπλότητα.

5)  Βαθμωτές Μη Αυτόνομες Εξισώσεις:

Θεωρία Βαθμωτών Απεικονίσεων: Εισαγωγικά; Ευστάθεια; Διακλαδώσεις Μονότονων Απεικονίσεων; Διακλάδωση
Διπλασιασμού Περιόδου.
6) Περιοδικές Λύσεις

6.1  Εισαγωγή  -  Πολικές συντεταγμένες.
6.2  Κριτήριο Dulac.
6.3   ω-οριακά σύνολα και ελκυστές.
6.4  Κριτήριο Poincare-Bendixson.
6.5  Οριακοί κύκλοι στην εξίσωση Lienard - Ο ταλαντωτής van der Pol.

6.6 Χαμιλτονιανά συστήματα.

Βιβλιογραφία

ΒΙΒΛΙΑ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ:

[1] Ν. Σταυρακάκης: “Διαφορικές εξισώσεις: Συνήθεις & Μερικές. Θεωρία και Εφαρμογές από τη Φύση και τη Ζωή,

1η Έκδοση, (Αυτοέκδοση), Αθήνα, Οκτώβριος 2015, σελ 834 +xxx. .

[2] Δυναμικά Συστήματα, Σημειώσεις, ΕΜΠ, 2006

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ:

Α). ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ

1) R K Miller: Introduction to Differential Equations, Prentice Hall, (2^nd Edition), 1991.

2) C H Edwards and D E Renney: Elementary Differential Equations with Boundary Value Problems, Prentice - Hall (3^rd edition), 2000.

3) C C Ross: Differential Equations. An Introduction with Mathematica, Springer-Verlag, 1995.

4) R K Nagle, E B Saff & A D Snider: Fundamentals of Differential Equations and boundary Value Problems. Addison-Wesley Publ. Co. (3^nd ed.) , 2000.

5) R L Borrelli & C S Coleman: Differential Equations. A Modeling Approach. J. Wiley & Sons, 1998.

6) A Gray, M Mezzino & M A Pinsky: Introduction to Ordinary Differential Equations with Mathematica. An Integrated Multimedia Approach, TELOS, Springer-Verlag, 1997.

7) Tenebaum & Polland: Ordinary Differential Equations, Dover, 1985.

8) E D Rainville and Ph E Bedient & Rich E Bedient: Elementary Differential Equations, (8^th Edition) Prentice Hall, Upper Saddle River, NJ, 1997.

9) H. K. Khalil : Nonlinear Systems , (3rd Edition) Pearson, 2001.

10) P. Glendinning: Stability, Instability and Chaos, Cambridge University Press, 1994.

B) ΠΡΟΧΩΡΗΜΕΝΑ

9) V Arnold: Ordinary Differential Equations, Springer Verlag, 1992,

10) D K Arrowsmith & C M Place: Ordinary Differential Equations, Chapman and Hall, 1982,

11) *D K Arrowsmith & C M Place: Dynamical Systems: Differential Equations, maps and chaotic behaviour, Chapman and Hall, 1992,

12) G Birkhof & G-C Rotta: Ordinary Differential Equations, J. Wiley & Sons, 1989,

13) F Brower & J A Nohel: Qualitative Theory of Ordinary Differential Equations, Dover,1989,

14) *J Cronin: Differential Equations. Introduction and Qualitative Theory, Marcel Dekker, 1980,

15) J. Guckenheimer and Ph. Holmes, Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems, and Bifurcations of Vector Fields, Springer-Verlag, 1983,

16) *M W Hirsch & S Smale: Differential Equations, Dynamical Systems and Linear Algebra, Academic Press, 1974,

17) J K Hale: Ordinary Differential Equations, R. E. Krieger Publ. Co. 1980,

18) *J K Hale & H Kocak: Dynamics and Bifurcation, Springer-Verlag, 1991,

19) P Hartman: Ordinary Differential Equations, (2^nd Edition) SIAM, 2002,

20) *D W Jordan & P Smith: Nonlinear Ordinary Differential Equations, Clarendon Press, Oxford (2^nd Ed.), 1987,

21) *A. H. Nayfeh and B. Balachandran, Applied Nonlinear Dynamics: Analytical, Computational and Experimental Methods, J. Wiley & Sons, Inc, 1996,

22) St. H. Strogatz, Nonlinear Dynamics and Chaos, Westview Press, 1994,

23) *F Verhulst: Nonlinear Differential Equations and Dynamical Systems, Springer-Verlag, 1990.

24) S Wiggins: Introduction to Applied Nonlinear Dynamical Systems and Chaos, Texts in Appl. Maths.2, Springer-Verlag , 1991.

25) J. K. Hale : Oscillations in Nonlinear Systems, Dover, 1992.

26) I. Karafyllis & Z.-P. Jiang: Stability and Stabilization of Nonlinear Systems, Springer, 2011.

-----------------------------------------------------------------------------------------------

*Αυτά προτείνονται ως τα πιο κατάλληλα για το επίπεδο του μαθήματος.

Εργασίες

Κατά τη διάρκεια των παραδόσεων, θα δίδονται Φυλλάδια Προβλημάτων για επίλυση και παράδοση σε

προκαθορισμένες ημερομηνίες.

Επίσης μετά το μέσον του Εξαμήνου θα γίνει ένα Ενδιάμεσο Διαγώνισμα πάνω σε όσα θα έχουν διδαχθεί μέχρι τότε.

Mέθοδοι αξιολόγησης