Διδάσκων: Καθηγητής Χρ. Προβατίδης (Σχολή Μηχανολόγων Μηχ. ΕΜΠ), Email: cprovat@central.ntua.gr 

Βοηθός διδασκαλίας: ΥΔ Ιωάν. Δημητρίου 

Το μάθημα εισάγει τις βασικές Υπολογιστικές Μεθόδους (πεπερασμένα στοιχεία, συνοριακά στοιχεία, μέθοδος ταξιθεσίας) για την αριθμητική επίλυση Διαφορικών Εξισώσεων δεύτερης και τέταρτης τάξης, που καλύπτουν ανάγκες του μηχανολόγου μηχανικού. Οι μέθοδοι αυτές εισάγονται με τη βοήθεια της σταθμισμένης Μεθόδου Galerkin, για διάφορες συναρτήσεις βάρους. Κυρίως, όμως, το μάθημα επικεντρώνεται στη χρήση της Μεθόδου των Πεπερασμένων Στοιχείων (Finite Element Methods: FEM). Καλύπτονται τόσον στατικά (μόνιμα) όσον και δυναμικά (μεταβατικά) φυσικά φαινόμενα, καθώς και προβλήματα εύρεσης ιδιοτιμών. Εκτός από τα συμβατικά πεπερασμένα στοιχεία χαμηλού πολυωνυμικού βαθμού, μεγάλο τμήμα του μαθήματος αναλίσκεται στη χρήση της λεγόμενης καθολικής προσέγγισης (global approximation) με βάση τη θεωρία της Υπολογιστικής Γεωμετρίας (CAGD-based macroelements) υπό την επωνυμία ΙΣΟΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ (Isogeometric Analysis) που σήμερα αποτελεί μέτωπο έρευνας και είναι η μοντέρνα (σύγχρονη) θεώρηση της FEM (CAD/FEM integration).

ΜΑΘΗΜΑ-1: Περιεχόμενο μαθήματος - Πρόβλημα οριακών τιμών - Πρόβλημα ιδιοτιμών - Τυπικές Διαφορικές εξισώσεις - Παραδείγματα

ΜΑΘΗΜΑ-2:  Μέθοδος Galerkin - Εφαρμογές της μεθόδου ταξιθεσίας (collocation method) - Μονοδιάστατα προβλήματα μετάδοσης θερμότητας (μόνιμα, μεταβατικά)

ΜΑΘΗΜΑ-3: Παρεμβολή υψηλού βαθμού (2,3,4) - Πολυώνυμα Lagrange / Hermite. 

ΜΑΘΗΜΑ-4: Πολυώνυμα Bernstein-Bezier. Ισοδυναμία με πολυώνυμα Lagrange. Εφαρμογές σε προβλήματα μεταφοράς θερμότητας και διάδοσης ήχου.

ΜΑΘΗΜΑ-5: Η έννοια του B-spline. Παλιός και μοντέρνος ορισμός και εφαρμογές.

MΑΘΗΜΑ-6: NURBS (Non Uniform B-Splines). Σημεία ελέγχου. Βάρη. Εφαρμογές στον κύκλο και την έλλειψη (κωνικές τομές).

ΜΑΘΗΜΑ-7: Συναρτήσεις βάσης από την Υπολογιστική Γεωμετρία στην Ανάλυση Κατασκευών.

ΜΑΘΗΜΑ-8: T-splines (μη-καρτεσιανά γινόμενα).

ΜΑΘΗΜΑ8-12: MATLAB applications (IGAFEM,  ISOGAT, inhouse s/w). Εφαρμογές στην ματάδοση θερμότητας, διάδοση ήχου, θεωρία ελαστικότητας. Στατική και Δυναμική ανάλυση.

ΜΑΘΗΜΑ 13: Η Μέθοδος των Συνοριακών Στοιχείων (Boundary Element Method). FEM/BEM coupling. 

Η θεωρία συνοδεύεται με πρακτική άσκηση των σπουδαστών στο λογισμικό MATLAB που διαθέτει το Κέντρο Η/Υ ΕΜΠ. Οι μεταπτυχιακοί σπουδαστές εγκαθιστούν το λογισμικό στον προσωπικό τους υπολογιστή (βλ. http://www.central.ntua.gr/matlab/) και όταν αυτό λειτουργεί, συνήθως μέσω VPN από το σπίτι, παίρνει επίσημη άδεια από το κέντρο Η/Υ. Σήμερα διατίθεται η τελευταία version 2020b.

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ

1. Χρ. Προβατίδης, Πεπερασμένα Στοιχεία στην Ανάλυση Κατασκευών, εκδ. Τζιόλα, 2015.

2. Χρ. Προβατίδης, Βελτιστοποίηση και Λογισμικό Κατασκευών: Πεπερασμέν στοιχεία, Ισογεωμετρικά Στοιχεία, Συνοριακά Στοιχεία, Εκδ. Τζιόλα, 2017.

3. C. G. Provatidis, Precursors of Isogeometric Analysis: Finite elements, boundary elements and collocation methods, Springer, 2019. 

4. Χρ. Προβατίδης, Η Μέθοδος της Ισογεωμετρικής Ανάλυσης, Εκδόσεις Κάλλιπος, Αθήνα, 2022 (υπό εκτύπωση).

Λόγω της φύσεως του μαθήματος, η εξέταση  πραγματοποιείται από την προφορική εξέταση επί των γραπτών Αναφορών που παραδίδουν οι σπουδαστές καθόλη τη διάρκεια του εξαμήνου.