Γενικά στοιχεία

Πιθανότητες

Περιγραφή

Σύντομη περιγραφη του μαθήματος "Πιθανότητες"

σ-άλγεβρες και χώροι πιθανότητας. Η πιθανότητα ως μέτρο. Τυχαίες μεταβλητές (τ.μ.). Η μέση τιμή ως ολοκλήρωμα Lebesgue. Χαρακτηριστικές συναρτήσεις τ.μ. Τρόποι σύγκλισης ακολουθιών τ.μ. Θεώρημα P.Levy. Νόμοι των Μεγάλων Αριθμών, Οριακά Θεωρήματα. Θεώρημα Radon-Nicodym και η έννοια της δεσμευμένης μέσης τιμής. Διακριτά Martingales.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Επειδή πολλοί φοιτητές (που μάλιστα προέρχονται και από πολύ διαφορετικές προπτυχιακές σχολές) ρωτάνε τι χρειάζεται να ξέρουν, ώστε να μπορέσουν να παρακολουθήσουν το μάθημα χωρίς ιδιαίτερα προβλήματα, θεώρησα σκόπιμο να προσθέσω τα εξής:

Η ερώτησή είναι πολύ γενική και δεν θα μπορέσω να δώσω συγκεκριμένες απαντήσεις. Κάθε σπουδαστής είναι μια ειδική περίπτωση και ιδανικά θα έπρεπε να αντιμετωπίζεται διαφορετικά.

Γενικά όμως πρέπει να πω ότι:

Σίγουρα το μάθημα της Θεωρίας Πιθανοτήτων προαπαιτεί να έχει διαμορφώσει κανείς έναν “μαθηματικό” τρόπο σκέψης, μια μαθηματική “κουλτούρα”. Ένα ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΟ στοιχείο αυτής της κουλτούρας είναι η Πραγματική Ανάλυση, τουλάχιστον στο επίπεδο της δομής (τοπολογίας) της πραγματικής ευθείας, δηλαδή των ιδιοτήτων των πραγματικών αριθμών. Υπάρχουν πολλά βιβλία που περιέχουν αυτή την ύλη. Ένα πολύ κλασικό (που, νομίζω, μπορεί να βρει κανείς στο διαδίκτυο δωρεάν) είναι και το βιβλίο του Walter Rudin: “Principles of Mathematical Analysis” (τουλάχιστον τα 3-4 πρώτα κεφάλαια). Ένα άλλο, επίσης κλασικό βιβλίο (φαντάζομαι και αυτό θα βρίσκεται δωρεάν στο διαδίκτυο) είναι του

Tom Apostol: “Mathematical Analysis” (Κεφάλαια 1, 2, 3, 4 και 12). Τα βιβλία των Rudin και Apostol καλύπτουν περίπου την ίδια ύλη, τουλάχιστον στο μέρος που μας ενδιαφέρει εδώ.

Επίσης καλό είναι να έχει κανείς κάποιες βασικές γνώσεις στοιχειώδους θεωρίας πιθανοτήτων του επιπέδου, π.χ., του κλασικού βιβλίου του Sheldon Ross: “A First Course in Probability” (το οποίο επίσης, νομίζω, βρίσκεται δωρεάν στο διαδίκτυο).

Εάν ένας φοιτητής έχει καλή γνώση των ανωτέρω, νομίζω δεν θα έχει πρόβλημα να παρακολουθήσει το μάθημα της Θεωρίας Πιθανοτήτων.

Υπενθύμιση: Στο διαδίκτυο υπάρχει εξαιρετικά ποιοτικό υλικό (δωρεάν), αρκεί να ξέρει κανείς που και πως να το βρει. Π.χ., ένας ιστότοπος που φαίνεται πολύ αξιόλογος βρίσκεται στη διεύθυνση:

https://math.libretexts.org/

ΒΠ

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Βιβλιογραφία

Θεωρία Μέτρου

Gerald B. Folland, Real Analysis: modern techniques and their applications, 2nd ed, Wiley, 2007.
Γ. Κουμουλής, Σ. Νεγρεπόντης: Θεωρία Μέτρου, εκδόσεις Συμμετρία, 2005
Michalis Papadimitrakis: Notes on Measure Theory, 2004, διαθέσιμο εδώ.
Halsey Royden and Patrick Fitzpatrick: Real Analysis, Fourth Edition, Pearson Education Inc., 2010
Γιάννης Σαραντόπουλος: Σημειώσεις Θεωρίας Μέτρου και Ολοκλήρωσης, 2008, διαθέσιμο εδώ.

Θεωρία Πιθανοτήτων

Patrick Billingsley: Probability and Measure, Wiley, 1995, διαθέσιμο εδώ.
Leo Breiman: Probability, SIAM, 1992.
Kai-Lai Chung: A course in Probability Theory, Third Edition, Academic Press, 2001.
Amir Dembo: Probability Theory notes, 2016, διαθέσιμο εδώ.
Richard Durrett: Probability: theory and examples, 5rd ed, Duxbury Advanced Series, 2005, διαθέσιμο εδώ.
S.R.S. Varadhan: Probability Theory (Courant Lecture Notes), AMS 2001.
Δημήτρης Χελιώτης: Ένα δεύτερο μάθημα στις Πιθανότητες, Συνδ. Ελλ. Ακ. Βιβλιοθηκών, 2016 (Κάλλιπος), διαθέσιμο εδώ.