Γενικά στοιχεία
Η θεωρία των Μιγαδικών Συναρτήσεων, γνωστή και ως Μιγαδική Ανάλυση, είναι ένας σημαντικός κλάδος των Μαθηματικών και ιδιαίτερα της Μαθηματικής Ανάλυσης, που μελετά τις ιδιότητες των συναρτήσεων των μιγαδικών αριθμών.
Είναι χρήσιμη σε πολλούς κλάδους των Μαθηματικών, όπως η Αλγεβρική Γεωμετρία, η Θεωρία Αριθμών και τα Εφαρμοσμένα Μαθηματικά καθώς και στη Φυσική, συμπεριλαμβανομένης της Υδροδυναμικής και Θερμοδυναμικής, της Θεωρίας Χορδών και της Κβαντικής Θεωρία Πεδίου αλλά και σε τομείς της Μηχανικής, όπως η Αεροδιαστημική, η Μηχανολογίας, η Ηλεκτρολογίας. Με το πέρασμα των δεκαετιών η Μιγαδική Ανάλυση αναδεικνύεται σε ένα από τα πιο όμορφα καθώς και χρήσιμα αντικείμενα των Μαθηματικών. Στη σύγχρονη εποχή, έχει γίνει πολύ δημοφιλής μέσα από μια νέα ώθηση, που δέχεται ο κλάδος, από την Μιγαδική Δυναμική και τις εικόνες των fractals που παράγονται με τις επαναλήψεις ολόμορφων συναρτήσεων.
ΜΙΓΑΔΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ
[1] Βασική Θεωρία της Μιγαδικής Ανάλυσης: Μιγαδικό Επίπεδο – Βασικά Στοιχεία Μιγαδικών Αριθμών
[2] Τοπολογία Μιγαδικού Επιπέδου
[3] Αναλυτικές (Ολόμορφες) Συναρτήσεις
[4] Στοιχειώδεις Αναλυτικές Συναρτήσεις: 1. Εκθετική Συνάρτηση, 2. Τριγωνομετρικές και Υπερβολικές Συναρτήσεις:
Α. Μιγαδικές Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις, Β. Μιγαδικές Υπερβολικές Συναρτήσεις, Γ. Βασικές Τριγωνομετρικές
- Υπερβολικές Σχέσεις, 3. Λογαριθμική Συνάρτηση 4. Δυνάμεις Μιγαδικών Αριθμών
ΜΙΓΑΔΙΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ
[1] Μιγαδική Ολοκλήρωση
[2] Επικαμπύλιο Μιγαδικό Ολοκλήρωμα
[3] Ολοκληρωτικό Θεώρημα Cauchy
[4] Αόριστο Μιγαδικό Ολοκλήρωμα
[5] Ολοκληρωτικός Τύπος Cauchy και Εφαρμογές: 1. Παράγωγος Αναλυτικών Συναρτήσεων, 2. Θεώρημα Morera
3. Αρχή Μεγίστου, 4. Θεμελιώδες Θεώρημα της Άλγεβρας
ΜΙΓΑΔΙΚΗ ΣΕΙΡΑ
[1] Εισαγωγή.
[2] Σειρές Taylor 1. Βασική Θεωρία, 2. Πρακτικές Μέθοδοι Εύρεσης Δυναμοσειρών
[3] Σειρές Laurent.
[4] Ιδιότητες Σειρών και άλλες Παρατηρήσεις
ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΑ ΥΠΟΛΟΙΠΑ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ
[1] Ολοκληρωτικά Υπόλοιπα
[2] Θεώρημα Ολοκληρωτικών Υπολοίπων
[3] Γενικευμένα Ολοκληρώματα Ρητών Συναρτήσεων / Κύρια Τιμή
[4] Ολοκληρώματα Fourier
[5] Ολοκλήρωση γύρω από Κλαδικό Σημείο / Κλαδικές Τομές
[6] Ορισμένα Ολοκληρώματα Τριγωνομετρικών Συναρτήσεων
[7] Αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace
[8] Άθροισμα Σειρών
[9] Αρχή Ορίσματος
[10] Θεωρία Ευστάθειας: 1. Εισαγωγή, 2. Αλγεβρικά Κριτήρια Ευστάθειας, 3. Αλγεβρικά Κριτήρια Ευστάθειας και Αρχή Ορίσματος
[11] Ολοκληρωτικό Υπόλοιπο στο Άπειρο.
ΣΥΜΜΟΡΦΗ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗ
[1] Μιγαδικές Απεικονίσεις: Α. Ο Γραμμικός Μετασχηματισμός w=az+b, Β. Τετραγωνικός Μετασχηματισμός $w=z^{2}$,
Γ. Αντίστροφη Απεικόνιση $w=z^{-1}$, Δ. Εκθετική και Λογαριθμική Απεικόνιση-Προβλήματα.
[2] Σύμμορφη Απεικόνιση
[3] Ρητογραμμικοί Μετασχηματισμοί ή Μετασχηματισμοί M\"{o}bius
[4] Μετασχηματισμοί Zhukovsky \& K\'{a}rm\'{a}n-Trefftz.
[5] Μετασχηματισμός Schwarz-Christoffel
[6] Στοιχειώδεις Σύμμορφες Απεικονίσεις: 1. Ημιτονική Συνάρτηση, 2. Συνημιτονική Συνάρτηση,
3. Η Συνάρτηση Εφαπτομένη, 4. Υπερβολικές Συναρτήσεις
ΒΙΒΛΙΑ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ
ΝΙΚΟΛΑΟΣ M. ΣΤΑΥΡΑΚΑΚΗΣ: «Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις & Μιγαδικές Συναρτήσεις: Θεωρία και Εφαρμογές»
1η Έκδοση, (Αυτοέκδοση) Αθήνα, 2016, Εξώφυλλο: ΜΑΛΑΚΟ ΕΥΔΟΞΟΣ: 50847520 ISBN: 978-960-93-7366-1
https://service.eudoxus.gr/search/#s/%CE%94%CE%99%CE%91%CE%A6%CE%9F%CE%A1%CE%99%CE%9A%CE%95%CE%A3/0
ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ
Ablowitz, Mark J.; Fokas, Athanassios S. \emph{ Complex Variables: Introduction and Applications}, Cambridge Texts in Applied Mathematics (2nd Ed.), Cambridge University Press, (2003), ISBN 978-0-521-53429-1.
Alpay, Daniel, \emph{A Complex Analysis Problem Book}, Birkhäuser Mathematics, Basel, (2011)
Borwein, Jonathan M., Vanderwerff, Jon D. \emph{Convex Functions Constructions, Characterizations and Counterexamples}, Cambridge University Press, (2010).
J W Brown, R V Churchill, \emph{ Complex Variables and Applications}, Edition: 9th, McGraw Hill, (2013).
Campos, Luis Manuel Braga da Costa, \ \emph{Complex Analysis with Applications to Flows and Fields}, CRC Press, Taylor and Francis Group, Boca Raton, FL (2011)
Ivanov, V.I., and Trubetskov, M.K., \emph{Handbook of Conformal Mapping with Computer–Aided Visualization}, CRC Press, Boca Raton, Fl, (1995).
John Olive, \emph{ Creating Airfoils from Circles: The Joukowski Transformation}, \url{http://math.coe.uga.edu/olive/Joukowski.Web/Joukowski.Paper.html}, (2016).
Peter J. Olver, \emph{Complex Analysis and Conformal Mapping}, Lecture Notes, University of Minnesota, (2016).
Rao Murali, Stetkaer Henrik, Fournais Soeren, Moeller Schach Jacob, \emph{Complex Analysis: An Invitation}, (2rd edition), World Scientific, London, (2015).
Simon, Barry \emph{The Ultimate Companion to A Comprehensive Course in Analysis}, [A five-volume reference set - Part 2A: Complex Analysis], American Mathematical Society, Providence, RI, USA, (2015).
Sergey Svetunkov, \emph{Complex-Valued Modeling in Economics and Finance}, Springer Science - Business Media, New York, (2012)