Γραμμική Άλγεβρα και Αναλυτική Γεωμετρία

Γενικά στοιχεία

 

Περιγραφή

Το μάθημα ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ  είναι υποχρεωτικό μάθημα του 1ou εξαμήνου της Σχολής ΑΓΡΟΝΟΜΩΝ ΤΟΠΟΓΡΑΦΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ.

Βιβλιογραφία

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ, Γ.Παντελίδης, Δ. Κραββαρίτης, Β.Νασόπουλος, Π. Τσεκρέκος, Εκδόσεις ΣΥΜΕΩΝ

LINEAR ALGEBRA, Larry Smith, Springer-Verlag

Εργασίες

1. Bρείτε μια διαγωνοποίηση PΔP^-1, με P ορθογώνιο, του πίνακα Α με γραμμές 1 0 2/0 1 0/2 0 1 και του πίνακα Β με γραμμές 1 1 0/1 0 0/0 0 1.

2. Να εξεταστεί αν διαγωνοποιείται ο πίνακας Α με γραμμές 1 0 0/1 1 0/0 0 1.

3. Αν λ, X είναι αντίστοιχα χαρακτηριστικά μεγέθη ενός πίνακα Α (ΑΧ=λΧ), δείξτε, επαγωγικά,  ότι τα λ^ν, Χ είναι αντίστοιχα χαρακτηριστικά μεγέθη του Α^ν, για κάθε φυσικό αριθμό ν.

4. Έστω Ε ένας γραμμικός χώρος και Α υποσύνολο αυτού. Δώστε τον ορισμό της γραμμικής θήκης [Α] του Α και δείξτε ότι η [Α] είναι γραμμικός υπόχωρος του Ε και μάλιστα ο μικρότερος ως προς την σχέση του εγκλεισμού.

Εφαρμογή 1. Γράψτε το επίπεδο x+y+z=0 ως γραμμική θήκη δύο στοιχείων του IR³ και την ευθεία x=2t, y=3t, z=t, tεIR ενός στοιχείου του IR³. Δικαιολογίστε γιατί τόσο το δοθέν επίπεδο όσο και η δοθείσα ευθεία είναι γραμμικοί υπόχωροι του IR³.

Εφαρμογή 2. Δείξτε ότι το σύνολο {(α,β,β+α,β-α), α,βεIR} είναι γραμμικός υπόχωρος του IR^4.

Εφαρμογή 3. Δείξτε με δύο τρόπους ότι το σύνολο {(x,y,z)IR³: x+y+z=0} είναι γραμμικός υπόχωρος του IR^3.. Σύγκρίνατε.

5. Δείξτε τις πρoτάσεις 1,2, σελ.10 του προταθέντος βιβλίου.

Εφαρμογή 1. Βρέιτε μια βάση του γραμμικού υπόχωρου του IR⁴ που παράγουν τα διανύσματα

(8,0,0,5), (2.1.1.3), (1,1,2,0), (7,0,1,2).

Εφαρμογή 2. Βρείτε το βαθμό (rank) του πίνακα Α με γραμμές 1.-1.2.-2/2.2.1.3/3.0.0.2/0.1,3,-1.

Εφαρμογή 3. Είναι το ακόλουθο σύστημα συμβιβαστό;

3x+y+z+w=1,

x+3y+z+w=2

x+y+3z+w=3

x+y+z+3w=4

Αν ναί, λύστε το με δύο τρόπους.

Εφαρμογή 4. Υπολογίστε την ορίζουσα των συντελεστών των αγνώστων του προηγούμενου συστήματος.

Εφαρμογή 5. Δίδεται το παραμετρικό σύστημα: x+2y+z=λ, 2x+y+2z=μ, x+y+z=ν, όπου λ,μ,ν παράμετροι που μεταβάλονται στο IR. Βρείτε σχέση που πρέπει να ικανοποιούν οι παράμετροι λ,μ,ν, ώστε το σύστημα να έχει λύση. Στη συνέχεια δείξτε ότι το σύνολο Σ={(λ,μ,ν)εIR³: το σύστημα είναι συμβιβαστό} είναι γραμμικός υπόχωρος του IR³. Βρείτε μια βάση του.

6. Δώστε τον ορισμό του εσωτερικού γινομένου  σ' έναν γραμμικό χώρο πάνω στο IR και της ορθοκανονονικής βάσης.

7. Έστω u_1, u₂, u₃ μια ορθοκανονική βάση του IR³. Με τη βοήθεια των ιδιοτήτων του εσωτερικού γινομένου δείξτε ότι το τυχόν στοιχείο x του IR³ γράφεται στη μορφή x=<x,u₁>u₁+<x,u₂>u₂+<x,u₃>u₃, όπου <,> το εσωτερικό γινόμενο του IR³.(βλέπε Πρόταση2, σελ.26)

 

  

Διδάσκοντες

Παναγιώτης Τσεκρέκος

ΣΧΟΛΗ ΕΜΦΕ/ Τομέας Μαθηματικών

Γραφείο: Κτίριο Ε΄, 316

Τηλ. 210-7721764

Ηλεκτρ. Διεύθυνση: ptsekre@math.ntua.gr