Είσοδος

Διαφορικές Εξισώσεις και Μιγαδικές Συναρτήσεις

Γενικά στοιχεία

 

 
Περιγραφή

ΤΜΗΜΑ  ΑΓΡΟΝΟΜΩΝ ΤΟΠΟΓΡΑΦΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΑΚΑΔ. ΕΤΟΣ: 2015 -  2016  ΕΞΑΜΗΝΟ  2ο:   

ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 

Οι ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ είναι το εισαγωγικό μάθημα στη Θεωρία των Συνήθων Διαφορικών εξισώσεων.

Για τη σωστή προσέγγιση στο μάθημα απαιτείται πολύ καλή γνώση του Λογισμού Μιας Μεταβλητής αλλά και

κάποιων θεμάτων του Λογισμού των Πολλών Μεταβλητών. Με το μάθημα αυτό ο φοιτητής εισάγεται

κατ' αρχή στις βασικές έννοιες των Διαφορικών Εξισώσεων και ειδικότερα αυτές των Συνήθων Διαφορικών

Εξισώσεων. Στη συνέχεια έρχεται σε επαφή με το βασικό λογισμό των Γραμμικών και Μη Γραμμικών Εξισώσεων

1ης Τάξης. Γίνεται γνώστης των κλασικών τεχνικών επίλυσης Γραμμικών Εξισώσεων και Συστημάτων

(ομογενών και μη) με σταθερούς συντελεστές οποιουδήποτε βαθμού. Για τα αντίστοιχα προβλήματα με μη

σταθερούς συντελεστές γίνεται εισαγωγή στη Θεωρία Δυναμοσειρών και εφαρμογή αυτής σε τέτοια προβλήματα.

 Εισάγεται η έννοια των Ολοκληρωτικών Μετασχηματισμών, αναλύεται η σημασία τους και γίνεται χρήση του

Μετασχηματισμού Laplace τόσο σε κλασικές όσο και σε εξειδικευμένες μορφές (Συναρτήσεις Heaviside,

Συνάρτηση δ-Dirac, Ολοκληρωδιαφορικές, κ.α.) Γραμμικών Διαφορικών Εξισώσεων και Συστημάτων.

Ύλη

 Α.  ΣΥΝΗΘΕΙΣ  ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ  ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 

1)  Εισαγωγικές Έννοιες στις Συνήθεις  Διαφορικές  Εξισώσεις : Ορισμός  \  Έννοια Λύσης Συνήθους Διαφορικής Εξίσωσης (σ.δ.ε.).

2)  Σ.Δ.Ε. Πρώτης Τάξης: Χωριζόμενων Μεταβλητών \ Ακριβείς Εξισώσεις \ Πολλαπλασιαστής Euler \  Γραμμικές Εξισώσεις \ Εξίσωση Bernoulli \ Εξίσωση Riccati \   Εξίσωση Lagrange \  Εξίσωση Clairaut \ Ορθογώνιες τροχιές \ Ύπαρξη και μοναδικότητα λύσης προβλημάτων αρχικών συνθηκών (Picard και Peano).

3)  Γραμμικές Σ.Δ.Ε: Εισαγωγή  \  Γενική θεωρία γραμμικών ομογενών \ Ομογενείς γραμμικές σ.δ.ε. με σταθερούς συντελεστές \  Μη-ομογενείς γραμμικές σ.δ.ε: Μέθοδος Μεταβολής των Σταθερών (Lagrange) -Μέθοδος Προσδιορισμού των Συντελεστών \ Δ. Ε του Euler.

4) Λύση Δ.Ε. με χρήση Δυναμοσειρών: Ακολουθίες και Σειρές Συναρτήσεων Δυναμοσειρές. Λύση γύρω από Ομαλό Σημείο, Εξίσωση Legendre, Λύση γύρω από Κανονικό Ανώμαλο Σημείο: Εξίσωση Euler - Θεωρία Fuchs - Θεωρία Frobenius, Εξίσωση Bessel

5) Συστήματα Σ.Δ.Ε: Εισαγωγή \ Λύση με απαλοιφή \ Γενική θεωρία : Ομογενή συστήματα σ.δ.ε. - Μη ομογενή συστήματα σ.δ.ε. \ Γραμμικά Συστήματα με σταθερούς Συντελεστές: Ομογενή - Μη ομογενή.

6)  Μετασχηματισμός Laplace: Εισαγωγή \ Ιδιότητες \ Αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace \ Εφαρμογές στις σ.δ.ε.  \ Συνάρτηση Heaviside \ Συνάρτηση δ-Dirac \ Συνέλιξη \ Ολοκληρωδιαφορικές εξισώσεις.

7)  Ευστάθεια:  Εισαγωγή \ Αυτόνομα Συστήματα \ Ευστάθεια Γραμμικών Συστημάτων: Γενική Θεωρία - Επίπεδα Αυτόνομα Γραμμικά Συστήματα \ Ευστάθεια Σχεδόν Γραμμικών Συστημάτων: Γραμμικοποίηση.

8)  Δ.Ε. με μερικές παραγώγους: Γραμμικές Δ.Ε. Οι βασικές εξισώσεις της Μαθηματικής Φυσικής \ Ταξινόμηση των Δ.Ε. 2ης τάξης \ Προβλήματα συνοριακών τιμών \ Η μέθοδος χωρισμού των μεταβλητών.

Β.  ΜΙΓΑΔΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 

 Στοιχειώδεις μιγαδικές συναρτήσεις  \ Παραγώγιση και Ολοκλήρωση \ Θεώρημα και τύπος του Caushy \ Δυναμοσειρές και σειρές Laurent \ Βασικά θεωρήματα μιγαδικών συναρτήσεων \ Ολοκληρωτικά υπόλοιπα \ Σύμμορφη απεικόνηση \ Ρητογραμμικές απεικονίσεις.

ΒΙΒΛΙΟ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

Ν. M. Σταυρακάκης:  «Συνήθεις Διαφορικές εξισώσεις: Γραμμική και μη Γραμμική Θεωρία - με Εφαρμογές από τη Φύση και τη Ζωή»,  Εκδόσεις Παπασωτηρίου, Αθήνα, Ιανουάριος 2011, (σελίδες 630 + xvii).

Φέτος θα διανεμηθούν σημειώσεις  Μιγαδικών Συναρτήσεων, που θα καλύπτουν την ύλη που θα διδαχθεί στο μάθημα. Οι σημειώσεις αυτές θα είναι  απόσπασμα από το βιβλίο:

ΝΙΚΟΛΑΟΣ M. ΣΤΑΥΡΑΚΑΚΗΣ: «Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις &  Μιγαδικές Συναρτήσεις: Θεωρία και Εφαρμογές»  Έκδοση, (Αυτοέκδοση)  Αθήνα, 1η ΜΑΡΤΙΟΥ  2016,  Εξώφυλλο: ΜΑΛΑΚΟ ΕΥΔΟΞΟΣ: 50847520    ISBN: 978-960-93-7366-1

Βιβλιογραφία

Α)  Συνήθεις  Διαφορικές  Εξισώσεις

R L Borrelli & C S Coleman: Differential Equations. A Modeling Approach. J. Wiley & Sons, 1998.

W. E. Boyce  & R. C. DiPrima: Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems,

J. Wiley & Sons, (5th Ed),  1993.

C H Edwards and D E Renney: Elementary Differential Equations with Boundary Value Problems, Prentice - Hall 

 (3rd edition),  2000. 

A. Gray, M Mezzino & M A Pinsky: Introduction to Ordinary Differential Equations with Mathematica. A

n Integrated Multimedia Approach, TELOS, Springer Verlag, 1997.

H.J. Lee, W.E. Schiesser, Ordinary and Partial Differential Equation Routines in C, C++, Fortran,

Java, Maple, and MATLAB, CRC PRESS, 2003,

R.K. Miller: Introduction to Differential Equations,   Prentice Hall,   (2nd Edition), 1991.

R K Nagle, E B Saff & A D Snider: Fundamentals of Differential Equations and boundary

Value Problems. Addison-Wesley Publ. Co. (3nd ed.) ,  2000. 

A.D. Polyanin & Valentin F. Zaitsev, Handbook of Exact Solutions for Ordinaryary Differential Equations,

Second Edition, CRC PRESS, New York, 2007

E. D. Rainville and Ph. E. Bedient & Rich. E. Bedient: Elementary Differential Equations, (8th Edition) Prentice Hall,

Upper Saddle River, NJ,  1997.

R. J. Swift and St. A. Wirkus  A Course in Ordinary Differential Equations, Chapman and Hall/CRC, 2007, 

Tenebaum & Polland: Ordinary Differential Equations,  Dover,   1985.

R. Courant & F. John : Introduction to Calculus and Analysis,  Vol. I, II. Wiley,  1965.

E. Kreyszig : Advanced Engineering Mathematics, J. Wiley & Sons, (6th Edition),  1988.

P. V. ONeil : Advanced Engineering Mathematics,  Wadsworth Publ. Co.   1987

Μιγαδικές Συναρτήσεις

  • Εφαρμοσμένη μιγαδική ανάλυση, Δ. Χ. Κραββαρίτη.
  • Βασική μιγαδική ανάλυση, J. E. Marsden, M. J. Hoffman.
  • Μιγαδικές συναρτήσεις και εφαρμογές, R. V. Churchill, J. W. Brown.
  • Μιγαδικές μεταβλητές, M. R. Spiegel.
  • Complex analysis, J. Bak, D. J. Newman.

Όλα τα βιβλία υπάρχουν στη βιβλιοθήκη.

Εργασίες

 Κατά τη διάρκεια των παραδόσεων, θα δίδονται Φυλλάδια Προβλημάτων για επίλυση και παράδοση σε προκαθορισμένες ημερομηνίες.

Τα φυλλάδια θα διορθώνονται, θα βαθμολογούνται και θα επιστρέφονται στους σπουδαστές. Επίσης μετά το μέσον του Εξαμήνου

θα γίνει ένα Ενδιάμεσο Διαγώνισμα πάνω σε όσα θα έχουν διδαχθεί μέχρι τότε.

Mέθοδοι αξιολόγησης

Η Τελική Βαθμολογία θα διαμορφωθεί ως εξής :    

1 Μονάδα από τα Φυλλάδια Προβλημάτων, 1 Μονάδα από το Ενδιάμεσο Διαγώνισμα, 

και 9 Μονάδες από την Τελική Εξέταση 

Διδάσκοντες

Ν. Σταυρακάκης
Καθηγητής
Γραφείο 3.25, Κτ. Ε
τηλ. 210  772 1779
email: nikolas@central.ntua.gr
Ώρες γραφείου:
ΕΥΑΝΘΙΑ  ΔΟΥΚΑ

Επίκουρη Καθηγήτρια

Γραφείο 321 , Κτ. Ε  ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΔΡΕΣ
τηλ. 210 772 4445
emai: vanda@central.ntua.gr
Ώρες γραφείου: 

Ηλεκτρονικές διευθύνσεις: για Διαφορικές Εξισώσεις & Μαθηματική Προτυποποίηση

Α.  ΣΥΝΗΘΕΙΣ  ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

https://en.wikipedia.org/wiki/Ordinary_differential_equation

http://mathworld.wolfram.com/OrdinaryDifferentialEquation.html

http://mathworld.wolfram.com/First-OrderOrdinaryDifferentialEquation.html

http://mathinsight.org/ordinary_differential_equation_introduction

http://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/ode.htm 

http://www.mathworks.com/help/matlab/ordinary-differential-equations.html 

http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/DE/DE.aspx

http://www.sosmath.com/diffeq/diffeq.html

http://serc.carleton.edu/sencer/ode_real_world/index.html 

http://en.wikibooks.org/wiki/Ordinary_Differential_Equations

http://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/ode.htm

https://www.youtube.com/watch?v=HKvP2ESjJbA 

https://www.symbolab.com/solver/ordinary-differential-equation-calculator 

Β.  ΜΕΡΙΚΕΣ  ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

 http://www.scholarpedia.org/article/Partial_differential_equation

http://www.mathworks.com/products/pde/index.html?s_tid=gn_loc_drop

http://www.mathworks.com/help/pde/examples.html

http://www.maplesoft.com/support/help/Maple/view.aspx?path=pdsolve

https://www.maths.ox.ac.uk/study-here/postgraduate-study/partial-differential-equations-epsrc-cdt

http://www.britannica.com/topic/partial-differential-equation

https://en.wikibooks.org/wiki/Partial_Differential_Equations 

http://viennapde.tuwien.ac.at/ 

https://www.youtube.com/watch?v=atvw5iseoGQ

https://www.youtube.com/watch?v=tNP286WZw3o

https://www.youtube.com/watch?v=r2GIY2ZmXPY

https://www.youtube.com/watch?v=QIZjDNkDbQA

Γ.  ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ  &  ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΠΡΟΤΥΠΟΠΟΙΗΣΗ

http://www3.ul.ie/tilde_accs/mlc/www/support/Loughborough%20website/chap19/19_1.pdf

http://www.webcrawler.com/info.wbcrwl.305.01/search/web?q=differential+equation+models&cid=

145602395&ad.network=g&ad.keyword=differential%20equation%20models&ad.creative=

27820701155&ad.position=1o1&ad.placement=&ad.matchtype=b&ad.aceid=&ad.ismobile=&ad.device=

c&ad.devicemodel=&ad.segment=info.wbcrwl.305.01

http://scholar.google.gr/scholar?q=differential+equations+modelling+examples&hl=el&as_sdt=0&as_vis=

1&oi=scholart&sa=X&ei=LX6gUsviDevMygO1zoCACQ&ved=0CC0QgQMwAA

http://www.math.ucsd.edu/~math20d/Fall/LabA1/LabA1.html

Δ. ΜΙΓΑΔΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ  &  ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΉ ΠΡΟΤΥΠΟΠΟΊΗΣΗ

Modern Applications of Complex Variables: Modeling, Theory and Computation 

http://www.birs.ca/events/2015/5-day-workshops/15w5052

Function theory in several complex variables in relation to modelling uncertainty

http://www.icms.org.uk/workshops/functiontheory

Complex-Valued Modeling in Economics and Finance:

http://www.springer.com/gb/book/9781461458753

COMPLEX ANALYSIS OF IONIC WIND IN ESP MODELLING

https://www.researchgate.net/publication/237106441_COMPLEX_ANALYSIS_OF_IONIC_WIND_IN_ESP_MODELLING

Applied and Computational Complex Analysis Group- Imperial College, UK

http://www.imperial.ac.uk/applied-computational-complex-analysis

A complex analysis approach to the modelling for the tracing and identification of Denial-of-Service attackers

http://ieeexplore.ieee.org/xpl/login.jsp?tp=&arnumber=4448619&url=http%3A%2F%2Fieeexplore.ieee.org%2Fxpls%2Fabs_all.jsp%3Farnumber%3D4448619

Social Simulation and Complex Analysis Systems

https://sigarra.up.pt/feup/en/ucurr_geral.ficha_uc_view?pv_ocorrencia_id=283415



Συγχρηματοδότηση
από την Ε.Ε.