Είσοδος

Μαθηματική Ανάλυση ΙΙ

Γενικά στοιχεία

 

 
Περιγραφή

Το μάθημα  εισάγει τους φοιτητές στον n-διάστατο ευκλείδειο  χώρο  και τις συναρτήσεις πολλών μεταβλητών. Παρουσιάζονται οι βασικές τοπολογικές ιδιότητες όπως τα ανοικτά σύνολα, τα συμπαγή τα συνεκτικά και τα συνεκτικά κατά δρόμους υποσύνολα του Rn. Επίσης δίνονται παραδείγματα συναρτήσεων πολλών μεταβλητών και επεκτείνονται οι έννοιες του ορίου και της συνέχειας συνάρτησης μιας μεταβλητής. Το κύριο μέρος του μαθήματος αποτελεί η έννοια της παραγώγου- διαφορικού συνάρτησης πολλών μεταβλητών. Εδώ ο φοιτητής μαθαίνει για τις μερικές παραγώγους πρώτης και ανώτερης τάξης, την κατευθυνόμενη παράγωγο, την κλίση και το διαφορικό. Παρουσιάζονται επίσης πολύ σημαντικά θεωρήματα της Ανάλυσης όπως το θεώρημα των Πεπλεγμένων Συναρτήσεων και της Αντίστροφης Συνάρτησης. Το μάθημα ολοκληρώνεται με εφαρμογές του Διαφορικού Λογισμού στην εύρεση και ταξινόμηση ελεύθερων και δεσμευμένων τοπικών ακροτάτων.

 

 


Ύλη

·         Εισαγωγή:  Ο χώρος Rn, εσωτερικό γινόμενο, ανισότητα Cauchy-Schwarz, η Ευκλείδεια νόρμα,  Τοπολογία του  Rn  (ανοικτά υποσύνολα, κλειστά υποσύνολα, συμπαγή, κυρτά υποσύνολα, Συνεκτικότητα, ακολουθίες στον Rn,  σύγκλιση ακολουθιών στον  Rn , ακολουθίες Cauchy, Σειρές, Θεώρημα σταθερού σημείου του Banach.

 

·         Συναρτήσεις πολλών μεταβλητών: Είδη συναρτήσεων πολλών μεταβλητών, Όρια, ακολουθίες και όρια, Τεχνικές υπολογισμού ορίων, Συνέχεια συναρτήσεων, Θεωρήματα για συνεχείς συναρτήσεις που ορίζονται σε συμπαγή ή συνεκτικά υποσύνολα του Rn.

 

·         Διανυσματικές συναρτήσεις μιας μεταβλητής: Παράγωγος, Καμπύλες, Πολικές,

Κυλινδρικές και σφαιρικές συντεταγμένες,

 

·         Διαφορικός Λογισμός  συναρτήσεων πολλών μεταβλητών:  μερικές  παράγωγοι, Θεώρημα Schwarz, παράγωγος κατά   κατεύθυνση,  ολική παράγωγος,  διαφορισιμότητα πραγματικής συνάρτησης πολλών  μεταβλητών, διαφορισιμότητα διανυσματικής συνάρτησης, κανόνας αλυσίδας.

 

·         Βασικά Θεωρήματα του Διαφορικού Λογισμού: Θεώρημα Μέσης Τιμής, Θεώρημα Taylor, Θεώρημα Πεπλεγμένων Συναρτήσεων, Θεώρημα Αντίστροφης Συνάρτησης.

 

·         Τοπικά Ακρότατα: Τοπικά Ακρότατα συναρτήσεων δύο μεταβλητών, Ακρότατα συναρτήσεων περισσοτέρων μεταβλητών, Ακρότατα υπό συνθήκες,  Πολλαπλασιαστές Lagrange.


Βιβλιογραφία

 

 

 

 

 

1.        ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

ΚΑΔΙΑΝΑΚΗΣ Ν.
ΚΑΡΑΝΑΣΙΟΣ Σ.
ΦΕΛΛΟΥΡΗΣ Α.

ΤΣΟΤΡΑΣ 

2009

ΑΘΗΝΑ

2.        ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ ΤΟΥ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥ

Ν.ΚΑΔΙΑΝΑΚΗΣ Σ.ΚΑΡΑΝΑΣΙΟΣ Α.ΦΕΛΛΟΥΡΗΣ

ΤΣΟΤΡΑΣ 

2015

ΑΘΗΝΑ

3.        ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΟΜΟΣ ΙΙ

Γ.ΠΑΝΤΕΛΙΔΗΣ

ΖΗΤΗ

2001

ΘΕΣ/ΝΙΚΗ

4.        ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ (Β΄ΕΚΔΟΣΗ)

Θ. ΡΑΣΣΙΑΣ

ΤΣΟΤΡΑΣ

2017

ΑΘΗΝΑ

5.        ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ

Π. ΤΣΕΚΡΕΚΟΣ

ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ

2009

ΑΘΗΝΑ

 

 


 
Συγχρηματοδότηση
από την Ε.Ε.