Είσοδος

Μιγαδική Ανάλυση

Γενικά στοιχεία

 

 
Περιγραφή

-Η "Μιγαδική Ανάλυση"(9042) είναι υποχρεωτικό μάθημα του 4ου εξαμήνου της Σχολής ΕΜΦΕ.

Ανακοίνωση για τους φοιτητές: Στα <<Εργαλεία- Έγγραφα>> υπάρχουν:

(α) "Λυμένες Ασκήσεις" καθώς επίσης και "Λυμένα Θέματα" που δόθηκαν τα προηγούμενα έτη στους δευτεροετείς φοιτητές της ΣΕΜΦΕ/6ΣΗΜΜΥ του Ε.Μ. Πολυτεχνείου.

(β) "Μια Εισαγωγή στη Μιγαδική Ανάλυση με Παραδείγματα και Ασκήσεις", Γ. Σαραντόπουλος. Μέχρι το τέλος του εαρινού εξαμήνου θα προστίθενται και καινούριες σημειώσεις.

(γ) Αποτελέσματα της Κανονικής Εξέτασης(29/6/2017).

 Στα <<Εργαλεία- Εργασίες>> υπάρχουν:

(α) 1η Σειρά Ασκήσεων στη Μιγαδική Ανάλυση(παράδοση των ασκήσεων 7/4/2017)

(β) 2η Σειρά Ασκήσεων στη Μιγαδική Ανάλυση(παράδοση των ασκήσεων 26/6/2017)

(γ) 3η Σειρά Ασκήσεων στη Μιγαδική Ανάλυση(παράδοση των ασκήσεων 26/6/2017)

(δ) Θέματα & λύσεις της "Κανονικής Εξέτασης(29/6/2017)" στη Μιγαδική Ανάλυση 

Ύλη

Μιγαδικοί αριθμοί: Το σώμα των μιγαδικών αριθμών, μιγαδικό επίπεδο, τοπολογικές ιδιότητες του μιγαδικού επιπέδου, στερεογραφική προβολή.

Αναλυτικές(ολόμορφες) συναρτήσεις: Παράγωγος μιγαδικής συνάρτησης, αναλυτικές(ολόμορφες) συναρτήσεις, εξισώσεις(συνθήκες) Cauchy-Riemann, αρμονικές και συζυγείς αρμονικές συναρτήσεις.

Στοιχειώδεις συναρτήσεις: Η εκθετική συνάρτηση, τριγωνομετρικές συναρτήσεις και οι αντίστροφές των, μιγαδικός λογάριθμος.

Μιγαδική ολοκλήρωση: Επικαμπύλιο ολοκλήρωμα, Θεώρημα Cauchy. Εφαρμογές του θεωρήματος Cauchy: Ολοκληρωτικοί τύποι Cauchy, Θεώρημα Liouville και το θεμελιώδες θεώρημα της άλγεβρας. Θεώρημα μέσης τιμής Gauss, αρχή μεγίστου/ελαχίστου. Η αναλυτική συνάρτηση Log{z}.

Σειρές: Σειρές αναλυτικών συναρτήσεων, δυναμοσειρές, Θεώρημα Cauchy-Taylor.

Επιπλέον ιδιότητες των αναλυτικών συναρτήσεων: Θεώρημα ανοικτής απεικόνισης, Λήμμα Schwarz, θεώρημα Morera(το αντίστροφο του θεωρήματος Cauchy), θεώρημα Hurwitz. Αρχή αναλυτικής επέκτασης, αρχή ταυτοτισμού, αρχή ανακλάσεως του Schwarz.

Ανώμαλα σημεία αναλυτικών συναρτήσεων: Ταξινόμηση μεμονωμένων ανώμαλων σημείων, σειρές Laurent και ολοκληρωτικά υπόλοιπα.

Θεώρημα ολοκληρωτικών υπολοίπων: Θεώρημα ολοκληρωτικών υπολοίπων, λογισμός ολοκληρωτικών  υπολοίπων.

Εφαρμογές του θεωρήματος ολοκληρωτικών υπολοίπων: Αρχή ορίσματος(Argument Principle), Θεώρημα Rouche. Υπολογισμός τριγωνομετρικών ολοκληρωμάτων, γενικευμένων ολοκληρωμάτων ρητών συναρτήσεων, ολοκληρωμάτων Fourier και ολοκληρωμάτων ειδικής μορφής. Υπολογισμός αθροισμάτων σειρών.

Σύμμορφη απεικόνιση: Ρητογραμμικοί μετασχηματισμοί(μετασχηματισμοί Mobius). Θεώρημα απικόνισης του Riemann. Άλλες χρήσιμες απεικονίσεις, εφαρμογές.

 

 

Βιβλιογραφία

Υπάρχει εκτενής βιβλιογραφία στις σημειώσεις: "Μια Εισαγωγή στη Μιγαδική Ανάλυση με Παραδείγματα και Ασκήσεις".

Εργαστήριο

Διδάσκοντες

Γιάννης Σαραντόπουλος

email: ysarant@math.ntua.gr

Τηλ. 210-7721765

ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΕΙΣ

 

Σχετικά με τη "Κανονική Εξέταση στη Μιγαδική Ανάλυση(29/6/2017)":

Οι φοιτητές που ενδιαφέρονται να δουν το γραπτό τους μπορεί να έλθουν τη Δευτέρα(17/7/2017) από 10:30-18:00 στο γραφείο #320, κτ. Ε', ΣΕΜΦΕ.



Συγχρηματοδότηση
από την Ε.Ε.