Είσοδος

Μιγαδική Ανάλυση

Γενικά στοιχεία

 

 
Περιγραφή

-Η "Μιγαδική Ανάλυση"(9042) είναι υποχρεωτικό μάθημα του 4ου εξαμήνου της Σχολής ΕΜΦΕ.

Ανακοίνωση για τους φοιτητές: Στα <<Εργαλεία- Έγγραφα>> υπάρχουν:

(α) "Λυμένες Ασκήσεις" καθώς επίσης και "Λυμένα Θέματα" που δόθηκαν τα προηγούμενα έτη στους δευτεροετείς φοιτητές της ΣΕΜΦΕ/6ΣΗΜΜΥ του Ε.Μ. Πολυτεχνείου.

(β) "Μια Εισαγωγή στη Μιγαδική Ανάλυση με Παραδείγματα και Ασκήσεις", Γ. Σαραντόπουλος. Μέχρι το τέλος του εαρινού εξαμήνου θα προστίθενται και καινούριες σημειώσεις.

 Στα <<Εργαλεία- Εργασίες>> υπάρχουν:

(α) 1η Σειρά Ασκήσεων στη Μιγαδική Ανάλυση(παράδοση των ασκήσεων 7/4/2017)

(β) 2η Σειρά Ασκήσεων στη Μιγαδική Ανάλυση(παράδοση των ασκήσεων 26/6/2017)

(γ) 3η Σειρά Ασκήσεων στη Μιγαδική Ανάλυση(παράδοση των ασκήσεων 26/6/2017)

Ύλη

Μιγαδικοί αριθμοί: Το σώμα των μιγαδικών αριθμών, μιγαδικό επίπεδο, τοπολογικές ιδιότητες του μιγαδικού επιπέδου, στερεογραφική προβολή.

Αναλυτικές(ολόμορφες) συναρτήσεις: Παράγωγος μιγαδικής συνάρτησης, αναλυτικές(ολόμορφες) συναρτήσεις, εξισώσεις(συνθήκες) Cauchy-Riemann, αρμονικές και συζυγείς αρμονικές συναρτήσεις.

Στοιχειώδεις συναρτήσεις: Η εκθετική συνάρτηση, τριγωνομετρικές συναρτήσεις και οι αντίστροφές των, μιγαδικός λογάριθμος.

Μιγαδική ολοκλήρωση: Επικαμπύλιο ολοκλήρωμα, Θεώρημα Cauchy. Εφαρμογές του θεωρήματος Cauchy: Ολοκληρωτικοί τύποι Cauchy, Θεώρημα Liouville και το θεμελιώδες θεώρημα της άλγεβρας. Θεώρημα μέσης τιμής Gauss, αρχή μεγίστου/ελαχίστου. Η αναλυτική συνάρτηση Log{z}.

Σειρές: Σειρές αναλυτικών συναρτήσεων, δυναμοσειρές, Θεώρημα Cauchy-Taylor.

Επιπλέον ιδιότητες των αναλυτικών συναρτήσεων: Θεώρημα ανοικτής απεικόνισης, Λήμμα Schwarz, θεώρημα Morera(το αντίστροφο του θεωρήματος Cauchy), θεώρημα Hurwitz. Αρχή αναλυτικής επέκτασης, αρχή ταυτοτισμού, αρχή ανακλάσεως του Schwarz.

Ανώμαλα σημεία αναλυτικών συναρτήσεων: Ταξινόμηση μεμονωμένων ανώμαλων σημείων, σειρές Laurent και ολοκληρωτικά υπόλοιπα.

Θεώρημα ολοκληρωτικών υπολοίπων: Θεώρημα ολοκληρωτικών υπολοίπων, λογισμός ολοκληρωτικών  υπολοίπων.

Εφαρμογές του θεωρήματος ολοκληρωτικών υπολοίπων: Αρχή ορίσματος(Argument Principle), Θεώρημα Rouche. Υπολογισμός τριγωνομετρικών ολοκληρωμάτων, γενικευμένων ολοκληρωμάτων ρητών συναρτήσεων, ολοκληρωμάτων Fourier και ολοκληρωμάτων ειδικής μορφής. Υπολογισμός αθροισμάτων σειρών.

Σύμμορφη απεικόνιση: Ρητογραμμικοί μετασχηματισμοί(μετασχηματισμοί Mobius). Θεώρημα απικόνισης του Riemann. Άλλες χρήσιμες απεικονίσεις, εφαρμογές.

 

 

Βιβλιογραφία

Υπάρχει εκτενής βιβλιογραφία στις σημειώσεις: "Μια Εισαγωγή στη Μιγαδική Ανάλυση με Παραδείγματα και Ασκήσεις".

Εργαστήριο

Διδάσκοντες

Γιάννης Σαραντόπουλος

email: ysarant@math.ntua.gr

Τηλ. 210-7721765

ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΕΙΣ

 

 -Έξω από το γραφείο 320(κτ. Ε', 3ος όροφος) υπάρχουν οι σημειώσεις:

1. "Μια Εισαγωγή στη Μιγαδική Ανάλυση με Παραδείγματα και Ασκήσεις"

και

2. "Ασκήσεις και Θέματα στη Μιγαδική Ανάλυση".



Συγχρηματοδότηση
από την Ε.Ε.