Προχωρημένη Θεωρία Γραμμικών Ταλαντώσεων

Γενικά στοιχεία

 

Ύλη

1. Επισκόπηση της Θεωρίας των Διακριτών Ταλαντούμενων Συστημάτων: Αρχή του Hamilton, εξισώσεις Lagrange, γραμμικά συστήματα, το πρόβλημα ιδιοτιμών, ιδιοσυχνότητες, ιδιομορφές, συνθήκες ορθοκανονικότητος, κανονικές μορφές ταλάντωσης, ανάλυση με τη μέθοδο των κανονικών μορφών, μετασχηματισμός του Laplace, θεωρία δυναμικού αποσβεστήρα, παραδείγματα και εφαρμογές. 

2. Εισαγωγή στα Συνεχή Ταλαντούμενα Συστήματα - η Εξίσωση Κύματος: Διαφορική εξίσωση παλλόμενης χορδής – διαμήκων ταλαντώσεων ράβδου – στρεπτικών ταλαντώσεων ράβδου, συνοριακές συνθήκες, αρχικές συνθήκες, λύση του ιδιοπροβλήματος, ιδιοσυχνότητες, ιδιομορφές, συνθήκες ορθοκανονικότητος, κανονικές μορφές ταλάντωσης, ανάλυση με τη μέθοδο των κανονικών μορφών, ταλάντωση λόγω κίνησης των στηρίξεων, κινητική και δυναμική ενέργεια συνεχούς συστήματος, λόγος του Rayleigh, μέθοδος Rayleigh-Ritz, μέθοδος Galerkin,  παραδείγματα και εφαρμογές. 

3. Η Εξίσωση Ταλαντούμενης Δοκού: Διαφορική εξίσωση εγκάρσιων ταλαντώσεων δοκού, συνοριακές και αρχικές συνθήκες, λύση ιδιοπροβλήματος, ανάλυση ιδιοσυναρτήσεων, ιδιοσυχνότητες, ιδιομορφές, συνθήκες ορθοκανονικότητος, κανονικές μορφές ταλάντωσης, ανάλυση με τη μέθοδο ,των κανονικών μορφών, ταλάντωση λόγω κίνησης των στηρίξεων, κινητική και δυναμική ενέργεια ταλαντούμενης δοκού, πηλίκο του Rayleigh, μέθοδος Rayleigh-Ritz, παραδείγματα και εφαρμογές. 

4. Ταλαντώσεις Μεμβρανών και Πλακών: Η κυματική εξίσωση σε δύο διαστάσεις, ορθογωνικές και κυκλικές μεμβράνες, συνοριακές και αρχικές συνθήκες, λύση ιδιοπροβλήματος, συνθήκες ορθοκανονικότητος, λόγος του Rayleigh. Πλάκες, εξίσωση ταλάντωσης, συνοριακές και αρχικές συνθήκες, ορθογωνικές και κυκλικές πλάκες, ιδιοπροβλήματα, μέθοδος Rayleigh-Ritz για ταλαντούμενες ορθογωνικές πλάκες. Παραδείγματα και εφαρμογές. 

5. Στοιχεία θεωρίας ιδιοπροβλημάτων Sturm-Liouville: Γραμμικοί ομογενείς διαφορικοί τελεστές, συζυγείς και αυτοσυζυγείς διαφορικοί τελεστές, τύποι του Green. Το πρόβλημα ιδιοτιμών Sturm-Liouville, expansion Theorem, ανώμαλα οριακά σημεία, ασυμπτωτική συμπεριφορά λύσεων εξισώσεων Sturm-Liouville. Συναρτήσεις Green, εφαρμογή σε προβλήματα ελαστοδυναμικής (χορδή και δοκός), αναγωγή συνήθων διαφορικών εξισώσεων σε ολοκληρωτικές εξισώσεις. 

6. Στοιχεία μετάδοσης κύματος σε χορδές: Κύματα σε απειρομήκεις χορδές, λύση D’Alembert, ανάκλαση και μετάδοση σε ασυνέχειες, σχέση διασποράς, ελεύθερη ταλάντωση πεπερασμένης χορδής, χορδή επί ελαστικής βάσεως, διάδοση κυμάτων σε ελαστικά συνεχή με διασπορά, φασική και ομαδική ταχύτητα (phase and group velocity). 

Βιβλιογραφία

1. L. Meirovitch, Elements of Vibration Analysis, McGraw Hill, 1986.

2. W. Weaver Jr., S.P. Timoshenko, D.H. Young, Vibration Problems in Engineering, Wiley, 1990.

3. R. Courant and D. Hilbert, Methods of Mathematical Physics – Vol.1, Wiley, 1955.

4. K. F. Graff, Wave Motion in Elastic Solids, Dover, New York, 1991.

 

Mέθοδοι αξιολόγησης

Ασκήσεις προς παράδοση: 50 %, Τελική εξέταση: 50 %.

 

Διδάσκοντες

Χρήστος Ι. Γιούνης

Επίκουρος Καθηγητής

Τομέας Μηχανικής - Σ.Ε.Μ.Φ.Ε.

Κτίριο Αντοχής Υλικών (Κτ. Θεοχάρη)

1ος όροφος, Γρ. 108 

Τηλ. 210 772 2615, 6934 440991

Fax : 210 772 2779 

e-mail: cjyounis@central.ntua.gr

 

Επί πλέον δεδομένα για το μάθημα

1. Διαβάστε τις Ανακοινώσεις (στα "Εργαλεία\Ανακοινώσεις").

2. Στα "Εργαλεία\'Εγγραφα" υπάρχουν αρχεία που περιέχουν: Σειρές Ασκήσεων, κ.α.